线性映射(linear mapping)

在unreal engine里就是Clamp函数。

 问题：P的取值范围是[A, B]，要将其线性对应到[X, Y]范围的Q点。已知P，求Q。

这种线性映射问题，其实就是一个缩放+平移的问题。先缩放一下使得两段范围宽度一致，再把两段范围的参照点平移对齐，就完成了映射过程。比如：将[A, B]缩放成[A', B']，其尺寸与[X, Y]相同，再把[A', B']平移叠到[X, Y]上，这样就完成了线性映射。将缩放和平移作用到P上，即可求出Q： \[Q = s * P + t\] s为缩放系数，t为平移量。将P=A，Q=X与P=B，Q=Y两组解分别带入上式，可得二元一次方程组： \[\left\{ \begin{array}{l} X = A * s + t \\ Y = B * s + t \end{array}\right.\] 求解可得： \[\left\{\begin{array}{l} s=\frac{Y-X}{B-A} \\ t=\frac{BX-AY}{B-A} \end{array} \right. \]

另一个角度的理解就是：先求AP在AB中所占比例t，线性映射中该比例不变，因此XQ在XY中所占比例也应为t，于是就有： \[\begin{align*} t = \frac{P-A}{B-A} \\ Q=t*(Y-X) + X \end{align*} \]