如何理解“空集是任何集合的子集”
不应该从规定层面来理解这个结论，比如数学书上的直接告诉你“空集是任何集合的子集”，根据子集的定义，你很难回过头来说明白这个结论。绕一下就豁然开朗：
For any B⊆A, we have A∖B⊆A. So A∖A=∅⊆A.
当然，从定义出发，利用反证法，也还是能够证明的：参考证明
A是B的子集定义为：若任给x属于A，则x一定也属于B。反证法的要义在于找到正确的否命题：不是【若任给x属于A，则x一定也属于B】，并对这个否命题进行证否，则间接证明了原命题。那么对这个否命题进行一个解构：若任给x属于A，存在x不属于B，或者说存在x属于A但x不属于B，这仍然是原命题的否命题，这个命题就很明显是假的，因为在A（空集）中，你找不到满足这个命题要求的x，即这个x的存在性是假的，因此这个否命题是假的，进而原命题是真的。
A是B的子集定义为：若任给x属于A，则x一定也属于B。反证法的要义在于找到正确的否命题：不是【若任给x属于A，则x一定也属于B】，并对这个否命题进行证否，则间接证明了原命题。那么对这个否命题进行一个解构：若任给x属于A，存在x不属于B，或者说存在x属于A但x不属于B，这仍然是原命题的否命题，这个命题就很明显是假的，因为在A（空集）中，你找不到满足这个命题要求的x，即这个x的存在性是假的，因此这个否命题是假的，进而原命题是真的。
- vacuous truth
- 空洞真理：在逻辑学中，指一个命题由于其前提永远不成立而被认为是真的
反证法
一直以来对反证法有说不清的感觉，有时候觉得它很强大，有时候又觉得它没道理…
典型的就是这种感觉：证明了所有x<8的x不满足一个命题，并不能表明所有>=8的x就能满足这个命题
典型的就是这种感觉：证明了所有x<8的x不满足一个命题，并不能表明所有>=8的x就能满足这个命题
刚才又陷入到这个思维漩涡里，然后想起程序里的一个常见代码，分享一个：
a是一个类的实例，然后if (a.length ＞ 0)，意图就是根据a的长度是否大于0来做判断，很正常的代码对吧…但是，a压根就没有length属性，这是合法的js代码…
反证法就像，证明一下这个杯子的屁股很大，然后你反证这个杯子的屁股不大是不可能的，所以这个杯子的屁股很大，问题是杯子它没有屁股…我这里说的杯子的屁股，指的就是根据经验或数据总结出的一些似是而非的概念，不是这个概念对不对的问题，是它不该存在，压根没这回事。
a是一个类的实例，然后if (a.length ＞ 0)，意图就是根据a的长度是否大于0来做判断，很正常的代码对吧…但是，a压根就没有length属性，这是合法的js代码…
反证法就像，证明一下这个杯子的屁股很大，然后你反证这个杯子的屁股不大是不可能的，所以这个杯子的屁股很大，问题是杯子它没有屁股…我这里说的杯子的屁股，指的就是根据经验或数据总结出的一些似是而非的概念，不是这个概念对不对的问题，是它不该存在，压根没这回事。
我知道这个跟反证法不是一回事，但是这种类似的感觉总是悬在头顶。
反证法成立的前提是：命题加上否命题，等于真理的全部，才能反证。这个在探索未知的世界规律时，反证可能会陷入思维陷阱，就像薛定谔的猫，没有量子力学的时候，你觉得真理的全部就是猫要么是死的，要么是活的。但是很不幸的是这个真理里还要加入猫既死又活。这跟提问的方式有关，你换个说法，它又是成立的：猫要么是死的，要么不是死的。所以反证法的要害在于，你真的找对了命题的否命题。
反证法成立的前提是：命题加上否命题，等于真理的全部，才能反证。这个在探索未知的世界规律时，反证可能会陷入思维陷阱，就像薛定谔的猫，没有量子力学的时候，你觉得真理的全部就是猫要么是死的，要么是活的。但是很不幸的是这个真理里还要加入猫既死又活。这跟提问的方式有关，你换个说法，它又是成立的：猫要么是死的，要么不是死的。所以反证法的要害在于，你真的找对了命题的否命题。
回到最开头的那个例子，它其实有2个命题
- 任给x<8，其不满足A
- 任给x>=8，其满足A
结合上面的分析，只有当这2个命题互为否命题时，才能放到反证法的框架下来谈论。
第1个命题的否命题是：不是【任给x<8，其不满足A】，解构为存在x<8，其满足A
很明显，这个解构后的否命题，并不等价于第2个命题，因此命题1和2不构成互否命题，因此不能套用反证法框架来进行证明。
第1个命题的否命题是：不是【任给x<8，其不满足A】，解构为存在x<8，其满足A
很明显，这个解构后的否命题，并不等价于第2个命题，因此命题1和2不构成互否命题，因此不能套用反证法框架来进行证明。
经过这里的思考，以及如何理解“空集是任何集合的子集” ，可以获得描述否命题的方法：将任意和存在互换、将满足和不满足互换