2.4 平面向量的坐标表示
第4条性质：
\begin{split}
&\ &\vec{a} \parallel \vec{b} \\ \Rightarrow &\ & \vec{a}=\lambda \vec{b} \\
\Rightarrow &\ & \left[\begin{array}{l}x_{1} \\ y_{1}\end{array}\right] = \lambda \left[\begin{array}{1}x_{2} \\ y_{2}\end{array}\right] \\
\Rightarrow &\ & \left\{\begin{array}{l}x_{1}=\lambda x_{2} \\ y_{1}=\lambda y_{2}\end{array} \right. \\
\Rightarrow &\ & x_{1}*\lambda y_{2} = y_{1}*\lambda x_{2} (上式交叉相乘) \\
\Rightarrow &\ & x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0.
\end{split}
平面向量基本定理
空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间 任一向量，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使得
\[\begin{aligned} \textbf{p} = x\textbf{a} + y\textbf{b} + z\textbf{c}.\end{aligned}\]
或者：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使得$$\vec{OP} = x\vec{OA} + y\vec{OB} + z\vec{OC}$$
- 空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；
- 如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc, x,y,z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，其中把{a, b, c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量；
- 一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；
- 由于0可视为与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0.
向量平行的判定
设a，b为两个非零向量，如果a//b，则有a=λ*b，即(x1, y1)=λ(x2, y2)=(λ*x2, λ*y2)，因此有x1=λ*x2，y1=λ*y2。通过λ作为媒介，有x1/x2=y1/y2=λ，进一步，可以写成x1*y2-x2*y1=0，这个更通用，兼容分母为0的情形。
由于a//b与a=λ*b是等价的，因此a//b <=> x1*y2 - x2*y1 = 0