FPlane相关

FPlane结构体定义在Engine/Source/Runtime/Core/Public/Math/Plane.h

 MS_ALIGN(16) struct FPlane
 	: public FVector
 {
 public:
 	/** The w-component. */
 	float W;
 }

▲这是FPlane的数据成员的构成：由X、Y、Z、W构成。

▼下面的几个典型的构造函数可以看出这四个数据成员的意义：

 FORCEINLINE FPlane::FPlane(float InX, float InY, float InZ, float InW)
 	:	FVector(InX,InY,InZ)
 	,	W(InW)
 {}

 FORCEINLINE FPlane::FPlane(FVector InNormal, float InW)
 	:	FVector(InNormal)
 	,	W(InW)
 {}

 FORCEINLINE FPlane::FPlane(FVector InBase, const FVector &InNormal)
 	:	FVector(InNormal)
 	,	W(InBase | InNormal)
 {}

 FORCEINLINE FPlane::FPlane(FVector A, FVector B, FVector C)
 	:	FVector(((B-A)^(C-A)).GetSafeNormal())
 {
 	W = A | (FVector)(*this);
 }

▲可以清楚的看到，X、Y、Z存储的是Plane的Normal，W存储的是Plane上的一点与Normal的点积。~~由这个点积除以Normal，就可以还原出Plane上的这个点坐标。~~ 当W=0时，表明该Plane过原点；当W>0时，表明Plane正空间不包含原点；当W<0时，表明Plane正空间包含原点。
▲可以形象认为Plane将空间分成两部分，在Plane上任选一点出发作出其法线，则法线所在的空间规定为正空间，另一半空间规定为负空间。
▲以+Z作为法线举例，则W=0时，平面就是XOY平面；当W>0时，平面沿+Z分布；当W<0时，平面沿-Z分布。

▼下面分析几个FPlane的API的数学原理

plane_dot_1
plane_dot_2
FPlane::PlaneDot
FVector FMath::LinePlaneIntersection
PointPlaneProject
VectorPlaneProject
章节(12.5) 平面
空间向量基本定理
Find Closest Point On Line

plane_dot_1

微信图片_20191218092406_small.jpg (657.03 KByte)

plane_dot_2

微信图片_20191218092333_small.jpg (409.97 KByte)

FPlane::PlaneDot

 /**
  * Calculates distance between plane and a point.
  *
  * @param P The other point.
  * @return >0: point is in front of the plane, <0: behind, =0: on the plane.
  */
 FORCEINLINE float FPlane::PlaneDot(const FVector &P) const
 {
 	return X * P.X + Y * P.Y + Z * P.Z - W;
 }

从其注释表明，这是计算点到Plane的距离的函数，同时要知道，Plane将空间分成了两部分，其法线正向所在的部分定义为正，另一部分定义为负。在正空间的点到Plane的距离为正，负空间的点到Plane的距离为负。

#131

#132

上面的图1和图2中，BasePoint为定义Plane时所用的那个点，FPlane里存储的W值已在图中标出，W存储的是Normal.Dot(BasePoint)，即BasePoint在Normal上的投影。所以W为如图所示。图1和图2中分别演示了2种Plane的情形，P点各演示了3种可能的情形，最终得出的distance都是N.Dot(P) - W

#189的解释简单直接

PointPlaneProject

 /**
  * Calculate the projection of a point on the given plane.
  *
  * @param Point The point to project onto the plane
  * @param Plane The plane
  * @return Projection of Point onto Plane
  */
 FVector FVector::PointPlaneProject(const FVector& Point, const FPlane& Plane)
 {
 	//Find the distance of X from the plane
 	//Add the distance back along the normal from the point
 	return Point - Plane.PlaneDot(Point) * Plane;
 }

设投影点是Q，有OP = OQ + QP. 因此Q点坐标即OQ = OP - QP

QP = (Point到Plane的有向距离) * (Plane.Normal). 当P在正空间时，有向距离为正，QP结果与Normal同向；当P在负空间时，有向距离为负，QP结果与Normal反向。因此这里的QP计算式是正确的，符合事实。

参考VectorPlaneProject

章节(12.5) 平面

平面方程的隐式定义：

$$ax + by + cz = d\\ \textbf{p * n} = d$$

点到平面的距离

#190

关于#130里FPlane的定义，其实就是n*p=d的形式。其中x、y、z分量存法线n，w存的d。

实际上，n*p就是OP在方向向量n上的投影，对于平面上所有的点P，其OP在n上的投影都是相同的，即具有相同的d。反过来也就是说：对于一个确定的方向向量n，若有OP在n上的投影（即n*p）相同（记为d），则称这些P在同一个平面上。因此可以用n*p = d来表达一个平面。

而点到平面的距离也可以直观的思考：任意点Q都可以求出其在n上的投影n*q，若Q在平面上，则有n*q=d，若Q在平面的正空间，则有n*q>d，反之若Q在平面的负空间，则有n*q<d。因此Q点到平面的有向距离就是：n*q - d

还有一种定义平面的方式：已知平面法线n，平面上一点p0，那么对于平面上的任一点p，都有n*(p-p0) = 0

FVector FMath::LinePlaneIntersection

 inline FVector FMath::LinePlaneIntersection
 	(
 	const FVector &Point1,
 	const FVector &Point2,
 	const FPlane  &Plane
 	)
 {
 	return
 		Point1
 		+	(Point2-Point1)
 		*	((Plane.W - (Point1|Plane))/((Point2 - Point1)|Plane));
 }

该功能还有一个实现，在KismetMathLibrary.h里：

 bool UKismetMathLibrary::LinePlaneIntersection(const FVector& LineStart, const FVector& LineEnd, const FPlane& APlane, float& T, FVector& Intersection)
 {
 	FVector RayDir = LineEnd - LineStart;

 	// Check ray is not parallel to plane
 	if ((RayDir | APlane) == 0.0f)
 	{
 		T = -1.0f;
 		Intersection = FVector::ZeroVector;
 		return false;
 	}

 	T = ((APlane.W - (LineStart | APlane)) / (RayDir | APlane));

 	// Check intersection is not outside line segment
 	if (T < 0.0f || T > 1.0f)
 	{
 		Intersection = FVector::ZeroVector;
 		return false;
 	}

 	// Calculate intersection point
 	Intersection = LineStart + RayDir * T;

 	return true;
 }

这两个实现其实是一样的原理，第二个可以当作第一个实现的详细注释版。

解释一下：其中(Vector | Plane)的操作是合法的，是因为FPlane是FVector的派生类型，因此(Vector | Plane)其实就是向量点乘，具体到这里就是Point点乘(Plane的Normal)。【|】运算符是对FVector.DotProduct的重载

就以Kismet里的蓝图函数来说：

RayDir是从LineStart指向LineEnd的方向向量，(RayDir | APlane)是RayDir点乘APlane的Normal，若结果为0，表示RayDir⊥Normal，或说RayDir // APlane。
由 FPlane::PlaneDot 函数的解释可以知道(LineStart | APlane) - APlane.W是LineStart到APlane的有向距离，RayDir | APlane【即RayDir.Dot(APlane.Normal)】是RayDir在Normal上的投影，当RayDir与Normal基本同向时（是指RayDir与Normal正向夹角小于90°），投影值为正，否则为负。
取一种典型情况来分析：当LineStart在APlane分割出来的正空间中，LineEnd在负空间中，此时，LineStart与LineEnd连线与APlane有交点X，比例T=|X - LineStart| / |LineEnd - LineStart|. 这个比例根据比例理论，等于[(LineStart | APlane) - APlane.W] / |[RayDir | APlane]|，因为LineStart与LineEnd分处APlane分割的正负空间中，RayDir | APlane此时为负，所以 |[RayDir | APlane]| = - RayDir | APlane,最终得到比例T = [APlane.W - (LineStart | APlane)] / RayDir | APlane.
还有几种其他情形，比如LineStart与LineEnd分别在负空间和正空间，或都在正空间，或都在负空间，只要分析清楚每种情形下LineStart到APlane的有向距离值的符号，RayDir到APlane.Normal的投影值的符号，最终都会得出上面关于T的结论。
接下来函数检测了T值的范围，只关注了直线<LineStart, LineEnd>与APlane交点在LineStart与LineEnd连线之间的情况，简单点说就是这个函数只关注了线段[LineStart, LineEnd]与APlane有交点的情况，交点可以是两端点。这是这个蓝图函数与FMath::LinePlaneIntersection函数唯一的区别。FMath::LinePlaneIntersection函数也处理T在线段外的情况。因此，准确的说，FMath::LinePlaneIntersection函数名副其实，求解的是直线与平面的交点。而这里的蓝图函数求解的是线段与平面的交点，如果线段与平面没有交点，则返回false。
在FMath::LinePlaneIntersection()的实现中：当从P1出发射向P2的射线与Plane有交点时，T值为正，即((Plane.W - (Point1|Plane))/((Point2 - Point1)|Plane))>0；当从P2出发射向P1的射线与Plane有交点时，T值为负，即((Plane.W - (Point1|Plane))/((Point2 - Point1)|Plane))<0。并有：当P1与P2在Plane同一边时，|T|>1;当P1与P2分属Plane的两边时，|T|<1

PointPlaneProject

 /**
  * Calculate the projection of a point on the given plane.
  *
  * @param Point The point to project onto the plane
  * @param Plane The plane
  * @return Projection of Point onto Plane
  */
 FVector FVector::PointPlaneProject(const FVector& Point, const FPlane& Plane)
 {
 	//Find the distance of X from the plane
 	//Add the distance back along the normal from the point
 	return Point - Plane.PlaneDot(Point) * Plane;
 }

设投影点是Q，有OP = OQ + QP. 因此Q点坐标即OQ = OP - QP

参考VectorPlaneProject

VectorPlaneProject

 /**
  * Calculate the projection of a vector on the plane defined by PlaneNormal.
  * 
  * @param  V The vector to project onto the plane.
  * @param  PlaneNormal Normal of the plane (assumed to be unit length).
  * @return Projection of V onto plane.
  */
 FVector FVector::VectorPlaneProject(const FVector& V, const FVector& PlaneNormal)
 {
 	return V - V.ProjectOnToNormal(PlaneNormal);
 }

设O为PlaneNormal上的一点（可以为原点），ON为PlaneNormal，将OV投影到ON为OQ，投影点Q为PlaneNormal上离V最近的点。此时QV即为所求：OV到Plane上的投影。

OQ + QV = OV => QV = OV - OQ

OQ = (V.Dot(Normal)) * Normal

因此，最后所求QV = OV - OQ = V - (V.Dot(Normal))* Normal. 其中，(V.Dot(Normal)) * Normal记为函数V.ProjectOnToNormal(Normal).

ColorCorrectRegionsCommon.usf中的RotateAboutAxis函数，其实现里的ClosestPointOnAxis就是Q点，UAxis就是QV

章节(12.5) 平面

平面方程的隐式定义：

$$ax + by + cz = d\\ \textbf{p * n} = d$$

点到平面的距离

#190

关于#130里FPlane的定义，其实就是n*p=d的形式。其中x、y、z分量存法线n，w存的d。

还有一种定义平面的方式：已知平面法线n，平面上一点p0，那么对于平面上的任一点p，都有n*(p-p0) = 0

空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使得 \[\begin{aligned} \textbf{p} = x\textbf{a} + y\textbf{b} + z\textbf{c}.\end{aligned}\]

或者：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使得$$\vec{OP} = x\vec{OA} + y\vec{OB} + z\vec{OC}$$

空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；
如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc, x,y,z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，其中把{a, b, c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量；
一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；
由于0可视为与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0.

Find Closest Point On Line

// 点投影到直线，或过点作直线的垂线与直线的交点.
// 注意：当点在直线上时，函数获取的就是该点
FVector UKismetMathLibrary::FindClosestPointOnLine(FVector Point, FVector LineOrigin, FVector LineDirection)
{
	const FVector SafeDir = LineDirection.GetSafeNormal();
	const FVector ClosestPoint = LineOrigin + (SafeDir * ((Point-LineOrigin) | SafeDir));
	return ClosestPoint;
}